Qui a fabriqué Pythagore ?

Au départ, un disque d’argile qui tient dans une main. Sur une face, quelqu’un a tracé un carré, ses deux diagonales et trois nombres en écriture cunéiforme. Le catalogue de la Cuneiform Digital Library Initiative l’enregistre sous le numéro P 255048 ; l’université Yale, qui le conserve, l’appelle YBC 7289. Période paléobabylonienne, entre 1900 et 1600 avant notre ère. Provenance : inconnue. Auteur : inconnu. Personne ne sait dans quelle ville ce disque a été façonné, par quelle main, ni un matin de quelle année. La signature manque ; le calcul demeure.

La trajectoire documentée commence en 1909, quand la tablette entre à Yale au sein de la collection Morgan. Sa provenance archéologique reste inconnue dans le catalogue. Son entrée dans une collection ne lui rend pas son lieu de découverte. Puis, en 1945, Neugebauer et Sachs publient l’identification qui la rend célèbre : ce carré et ces nombres parlent de racine de deux.

Car tout tient dans trois nombres. Le long d’un côté du carré, on lit 30. Le long d’une diagonale, deux suites de signes que les spécialistes translittèrent 1.24.51.10 et 42.25.35. Lues dans le système babylonien, elles donnent le rapport entre la diagonale et le côté d’un carré, puis la longueur de la diagonale quand le côté vaut 30. Ce rapport, nous l’appelons racine de deux. L’argile l’approche avec une précision qui laisse rêveur, plus de mille ans avant la naissance du personnage dont le nom décore le résultat voisin dans tous les manuels de collège.

D’où la question. Si ce calcul circulait déjà en Mésopotamie, qui a fabriqué Pythagore ? Et à qui, au juste, faudrait-il rendre quoi ?

Compter en soixante

Les scribes de Babylone comptaient en base soixante. La base est familière à qui compte soixante secondes dans une minute et soixante minutes dans une heure. Dans ce système, un nombre s’écrit par positions, comme chez nous, mais chaque position vaut soixante fois la précédente au lieu de dix. Deuxième particularité, plus déroutante : l’écriture ne marque pas où finit la partie entière et où commence la partie fractionnaire. Le même signe peut valoir 30, ou 30 fois 60, ou 30 divisé par 60. Le lecteur choisit l’échelle d’après le contexte, un peu comme on devine qu’un prix affiché « 2,50 » parle d’euros plutôt que de milliers d’euros.

Avec cette règle, l’interprétation retenue depuis 1945 se lit ainsi. La suite 1.24.51.10 signifie 1, plus 24 soixantièmes, plus 51 trois mille six centièmes, plus 10 parts de 216 000. En décimal, cela fait 1,414212963. Multipliez par 30, le côté du carré, et vous obtenez 42,4263888... Or la seconde suite, 42.25.35, se lit 42, plus 25 soixantièmes, plus 35 trois mille six centièmes, soit exactement le même 42,4263888... La cohérence entre les deux lignes rend l’interprétation solide : le scribe a noté un coefficient, puis son application à un cas concret.

Reste à comparer ce coefficient avec la vraie racine de deux, dont les premières décimales sont 1,414213562. L’écart entre les deux est inférieur à un millionième. Pour sentir ce que cela veut dire, imaginez une diagonale d’un kilomètre : l’erreur ferait moins d’un millimètre. À cette échelle, une petite tablette impose une grande précision.

Comment le scribe a-t-il obtenu une telle valeur ? La tablette montre le résultat et rien du chemin. Les historiens ont proposé des méthodes plausibles, en particulier une procédure d’approximations successives que l’on retrouve bien plus tard chez le Grec Héron d’Alexandrie, mais aucune ligne de calcul intermédiaire ne figure sur cet objet. Le résultat est conservé ; la recette exacte n’est pas inscrite à côté.

Une autre tentation guette : conclure que ce savoir a voyagé de Babylone vers la Grèce, de main en main, jusqu’à Pythagore. Peut-être. Mais rien dans cette tablette, ni dans les sources réunies ici, ne documente un tel transfert. Deux peuples peuvent trouver le même rapport parce que le carré est le même partout. Une ressemblance de résultats ne suffit pas à prouver un emprunt, pas plus en mathématiques qu’ailleurs.

Un homme sans manuscrit

Pythagore a vécu à peu près entre 570 et 490 avant notre ère. Samos, puis Crotone, dans le sud de l’Italie actuelle. Son nom nous est familier. Ses propres mots nous échappent.

Il n’a laissé aucun écrit. Les témoignages contemporains sont rares. Des récits détaillés beaucoup plus tardifs ont idéalisé le maître ; des traités ont circulé sous son nom. Carl Huffman, dans la Stanford Encyclopedia of Philosophy, sépare ces couches. Les témoignages anciens parlent notamment des âmes et d’une manière de vivre. Le rôle mathématique personnel de Pythagore reste discuté. Nous ne possédons pas de preuve fiable qu’il ait lui-même démontré le théorème.

Cette lacune interdit deux raccourcis. Couronner l’inventeur certain. Dénoncer le voleur certain. On ne rend pas justice à une main anonyme en inventant un coupable célèbre.

Reste un phénomène que chacun peut observer dans son propre apprentissage : retenir un nom demande moins d’effort que retenir les étapes d’une découverte. L’étiquette aide à retrouver le résultat. Elle peut aussi finir par occuper toute la place.

Ce qu’une preuve demande

Ouvrons la boîte. Le résultat se formule simplement : dans un triangle rectangle, le carré construit sur le plus grand côté, celui qui fait face à l’angle droit, a la même aire que les deux carrés construits sur les deux autres côtés, réunis.

Commençons par un exemple que nous proposons ici comme exercice d’aujourd’hui, sans prétendre reconstituer un atelier ancien. Prenez un triangle dont les deux petits côtés mesurent 3 et 4. Le grand côté mesure 5. Vérifions : 3 fois 3 donne 9, 4 fois 4 donne 16, et 9 plus 16 font 25, qui vaut bien 5 fois 5. L’égalité tient. Avec une ficelle et trois clous, vous pouvez le constater sur une table de cuisine.

Et pourtant, cet exemple ne prouve rien pour les autres triangles. Il montre qu’une égalité marche une fois, pour un cas choisi parce qu’il tombe juste. Qui garantit qu’elle marche pour un triangle de côtés 1 et 1, dont le grand côté vaut justement racine de deux, ce nombre de la tablette qui n’en finit jamais ? Un exemple est une bonne nouvelle. Une démonstration est une garantie.

Voici donc un second exercice de découpage. Dessinez un grand carré de côté 7, c’est-à-dire 3 plus 4. Dans chaque coin, placez un triangle rectangle de côtés 3 et 4, tourné de façon que le côté 3 de l’un prolonge le côté 4 du suivant. Les quatre grands côtés des triangles dessinent alors, au centre, un carré penché dont le côté vaut 5. L’aire du grand carré est 7 fois 7, soit 49. Chaque triangle a pour aire la moitié de 3 fois 4, soit 6 ; les quatre ensemble font 24. Il reste 49 moins 24, donc 25, pour le carré central. Et 25 vaut 5 fois 5. Refaites le même dessin avec des côtés a et b au lieu de 3 et 4 : le grand carré a pour aire a² plus 2 ab plus b², les quatre triangles font 2 ab, le carré central vaut donc a² plus b². Cette fois, le raisonnement ne dépend plus du cas choisi.

La version la plus célèbre de la preuve se trouve dans les Éléments d’Euclide, livre I, proposition 47, consultable dans une traduction anglaise commentée mise en ligne à l’université Clark. Euclide procède autrement que notre découpage. Il construit un carré sur chacun des trois côtés du triangle. Puis il trace, depuis le sommet de l’angle droit, une droite parallèle aux côtés du grand carré, qui le partage en deux rectangles. Il montre ensuite, par une série de triangles égaux deux à deux, que chaque rectangle a la même aire que l’un des petits carrés. Les deux rectangles font le grand carré ; les deux petits carrés font donc le grand carré. La preuve est valable aujourd’hui comme dans l’Antiquité, et elle ne repose sur aucune mesure, seulement sur des comparaisons d’aires.

Remarquez ce qu’Euclide fait et ce qu’il omet. Il démontre ; il ne signe pas au nom de Pythagore. Le lien entre la proposition et le personnage vient de la tradition, et le commentaire moderne du site de Clark le rappelle sobrement. La validité d’une preuve et l’identité de celui qui l’a trouvée sont deux questions séparées. On peut répondre « oui » à la première et « on ignore » à la seconde sans la moindre contradiction.

Alors, faut-il débaptiser ? Rayer « théorème de Pythagore » des cahiers pour écrire « théorème babylonien » ? Ce serait remplacer une statue par une autre, tout aussi fragile, puisque la tablette de Yale montre un calcul de diagonale plutôt qu’une preuve générale, et que son auteur est aussi inconnu que sa méthode. Un nom peut servir de repère sans valoir titre de propriété. On dit « rue Victor-Hugo » pour retrouver une adresse, sans croire que l’écrivain a posé les pavés. Garder le nom comme adresse et raconter à côté ce qu’on sait de la boîte : voilà une position tenable. Le nom tient en une ligne. L’histoire du savoir en demande plusieurs.

En 2016, Yale décrit un travail qui donne une seconde vie pédagogique à la tablette. Les conservateurs Benjamin Foster et Agnete Lassen expliquent le problème : étudier un objet fragile sans multiplier les manipulations. Une technique photographique permet de faire varier virtuellement son éclairage. Chelsea Graham et Ying Yang réalisent ensuite un scan laser en trois dimensions. Un modèle peut tourner sur un écran ; un fac-similé imprimé peut passer de main en main.

L’opération fait apparaître une autre manière de transmettre. L’original reste protégé. Ce qui circule est une copie désignée comme telle, dont les détails peuvent être examinés. La reproduction ne devient pas l’antiquité ; elle devient un outil pour l’approcher.

Nous savons nommer les personnes qui ont accompli ces gestes récents. Le scribe reste anonyme. Cette différence vient des traces disponibles ; elle ne mesure pas le mérite.

Le nom célèbre ne disparaît pas. Il reprend une taille humaine au milieu des autres. Un auteur, une tradition, un éditeur, des conservateurs, des techniciennes, un professeur, un élève : un savoir peut traverser tous ces rôles. Personne n’a besoin d’en devenir propriétaire pour lui donner une suite.

Au bout de la chaîne, un carré attend encore. Deux diagonales. Trois nombres. Assez pour commencer à vérifier.

Le passage

Choisis un outil que tu utilises chaque semaine sans y penser : une formule de maths, une recette, une application, le nom d’une rue, une règle de grammaire. Prends une feuille et trace trois colonnes : source, date, contribution.

Dans la première, note d’où tu tiens chaque information : un manuel, un site avec son lien, un parent, un professeur. Dans la deuxième, la date la plus précise que la source permet. Dans la troisième, le geste exact : qui a calculé, qui a prouvé, qui a traduit, qui a numérisé, qui a enseigné. Cherche au moins deux noms différents de celui qui figure sur l’étiquette. S’il manque un nom, écris « inconnu » dans la case. Cette case vide vaut une découverte : elle marque l’endroit où la légende a remplacé l’archive.

Ensuite, une règle simple avant toute accusation. Si quelqu’un affirme que X a volé l’idée de Y, demande trois choses : quel document montre que X a eu accès au travail de Y, quelle date l’atteste, et qui a lu ce document. Sans ces trois réponses, le verdict reste « non prouvé », dans un sens comme dans l’autre.

Fais l’exercice à deux et compare les tableaux. Les différences entre les colonnes t’apprendront davantage sur l’outil que n’importe quel nom gravé dessus.

Les sources

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