Le zéro n’est pas une absence

Un livre épais, imprimé en anglais en 1817, porte un titre qui ressemble à un inventaire de quincaillerie : Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. Le traducteur s’appelle Henry Thomas Colebrooke. Vers la fin du volume, aux pages 339 et 340, dans une section qu’il intitule « algorithmes », tiennent quelques règles très courtes. Elles expliquent comment additionner, soustraire, multiplier et diviser trois sortes de nombres : les positifs, les négatifs et le zéro. Le zéro y reçoit le même traitement que ses voisins. On lui applique des règles, on le fait entrer dans des opérations, on lui donne une chaise à la table. Et dans la dernière de ces règles, celle qui concerne la division, se cache une erreur qu’un élève de troisième peut repérer aujourd’hui avec un peu de patience.

Deux pages, donc. Ce qu’elles réussissent, ce qu’elles ratent, et ce que la faute apprend sur la façon dont un savoir voyage.

Deux auteurs, un seul volume, cinq siècles d’écart

Le livre de Colebrooke rassemble sous une même reliure deux auteurs qui ne se sont jamais rencontrés. Le premier, Brahmagupta, achève son traité en 628, dans la ville de Bhillamala, aujourd’hui Bhinmal, en Inde. Le second, Bhaskara, écrit au XIIe siècle. Entre les deux, environ cinq cents ans : un intervalle plus long que plusieurs vies de lecteurs. Un lecteur pressé qui feuillette le volume en fait volontiers un seul savant indien d’une époque indistincte. Première chose à défaire : les versets dont il va être question ici appartiennent au traité du VIIe siècle, et à lui seul.

Que contient ce traité ? Colebrooke en traduit deux chapitres. Le chapitre XII, l’arithmétique, s’ouvre à la page 277 et enchaîne des sections dont les titres sentent la terre et le bois : les mélanges à la page 287, les progressions à la page 296, les figures planes à la page 305, puis les excavations à la page 312, les empilements à la page 314, la scie à la page 315, les tas de grain à la page 316, l’ombre à la page 317. Le chapitre XVIII, l’algèbre, commence à la page 325 et contient, à la page 339, la section des « algorithmes » qui nous occupe.

Autrement dit, les mêmes règles de calcul servent à estimer le volume de terre qu’on sort d’une fosse, le nombre de briques dans une pile, la quantité de grain dans un tas, la longueur d’une ombre pour lire l’heure. L’auteur est aussi astronome. La notice de l’université de St Andrews, qui résume ce qu’on sait de lui, rappelle que son ouvrage traite des positions des planètes et des éclipses, propose des calculs d’ombres et d’aires, et aborde le calcul de l’intérêt sur un prêt. Le sommaire rapproche l’astronomie, la terre, les matériaux et les comptes. Le ciel et le sol voisinent dans le même volume. Le nombre négatif entre dans ce monde par la porte la plus banale qui soit. La notice signale que le traité emploie le vocabulaire de la fortune et de la dette pour désigner le plus et le moins. Avoir, devoir. Deux colonnes, et quelque chose entre les deux.

Le texte lui-même est en vers. Colebrooke le découpe en paragraphes numérotés et en règles, 31 à 36 pour celles qui nous intéressent, et l’écrit en anglais pour des lecteurs qui ont rarement le sanscrit sous la main. La traduction est un relais daté, avec ses mots et ses choix. Cette reliure rend les règles disponibles à des lecteurs qui ignorent le sanscrit.

Fortune, dette, et ce qui reste quand tout s’annule

Lisons les règles dans l’ordre où Colebrooke les donne, en les traduisant en français et en les accompagnant de petits calculs que nous inventons pour l’occasion. Ces exemples sont les nôtres, pas ceux du traité.

Première règle, l’addition. La somme de deux positifs est positive. La somme de deux négatifs est négative. Si les signes sont opposés, on prend la différence, et si les deux quantités sont égales, le résultat est « nought », rien, zéro. Prenons des dettes pour 5 et des ressources pour 3 : le solde est de moins 2. Prenons des dettes pour 5 et des ressources pour 5 : le solde est zéro. Ce zéro ne tombe pas du ciel. Il est fabriqué par une opération, le résultat de 5 moins 5, aussi solide que n’importe quel autre résultat. Celui qui a remboursé exactement ce qu’il devait ne possède rien, mais il ne vit pas la même situation que celui qui n’a jamais rien eu à rembourser. Le solde est le même ; les deux histoires sont différentes.

La règle continue avec le zéro lui-même : zéro plus un négatif donne ce négatif, un positif plus zéro donne ce positif, et deux zéros donnent zéro. Rien de spectaculaire, mais tout est écrit. Le zéro est un nombre avec lequel on peut faire une somme.

Un détour pour ceux qui n’y ont jamais réfléchi. Le zéro a deux métiers. Dans 101, il tient une place : il dit que la colonne des dizaines est vide, et si on l’enlève, 101 devient 11, soit presque dix fois moins. Dans 5 moins 5, il est une quantité : le résultat d’un calcul. Les deux emplois ne se confondent pas. Ces versets de 628 retiennent notre attention parce qu’ils font une chose précise : ils donnent au zéro des règles pour le second métier, celui de nombre qui s’additionne, se retranche et se multiplie. Voilà le geste, ni plus ni moins.

Deuxième règle, la soustraction. Un négatif retranché de zéro devient positif. Un positif retranché de zéro devient négatif. Notre exemple : partons d’un solde de moins 2. Retirons une charge de 2, c’est-à-dire effaçons une dette de 2. Le solde remonte à zéro. Retirer une dette équivaut à recevoir. La règle du traité, écrite avec le mot « negative », dit cela de façon compacte, et elle le dit pour le cas le plus nu, celui où l’on part de rien.

Troisième règle, la multiplication. Positif par négatif donne négatif. Deux négatifs donnent un positif. Zéro multiplié par quoi que ce soit donne zéro. Trois dettes de 2 font une dette de 6 : positif par négatif, négatif. Pour les deux négatifs, l’intuition de la dette fatigue vite, et le traité ne cherche pas à la forcer : il pose la règle. On peut la vérifier autrement, et c’est encore notre exemple : moins 1 fois 3 vaut moins 3, moins 1 fois 2 vaut moins 2, moins 1 fois 1 vaut moins 1, moins 1 fois 0 vaut 0. À chaque marche, le multiplicateur baisse de 1 et le résultat monte de 1. Une marche de plus, et moins 1 fois moins 1 vaut 1. La règle tient parce qu’elle garde l’escalier régulier.

Ces règles survivent. On les enseigne telles quelles aujourd’hui, à peu près dans les mêmes termes, dans n’importe quel collège. Du sanscrit au texte anglais de 1817, puis à notre explication française : les quantités à signe opposé se retranchent, deux négatifs font un positif. Un savoir opérable, c’est un savoir qu’on peut prendre et utiliser sans demander la permission à son auteur. Celui qui l’a appris peut l’appliquer à ses propres briques et à ses propres dettes. Il peut aussi s’en servir pour contredire le texte même qui le lui a donné, et c’est ce qui va se passer à la page suivante.

Le chiffre divisé par le chiffre

Puis vient la division, et la phrase que Colebrooke traduit ainsi : « Cipher, divided by cipher, is nought. » Le mot « cipher » désigne ici le zéro. Zéro divisé par zéro donnerait donc zéro. Pour les autres cas, un nombre positif ou négatif divisé par zéro, le texte laisse une fraction dont le dénominateur est zéro, sans la réduire.

Dans ce second cas, le texte laisse une fraction avec zéro au dénominateur. Il ne donne pas ainsi un quotient utilisable dans l’arithmétique usuelle. La première partie, en revanche, va trop loin. Voyons pourquoi, avec un raisonnement qui est le nôtre et non celui du texte, mais qui n’utilise que des outils dont le texte dispose.

Diviser, c’est faire une multiplication à l’envers. Dire que 6 divisé par 2 vaut 3, c’est dire que 3 fois 2 redonne 6, et que 3 est le seul nombre qui y parvienne. Appliquons la même exigence à 0 divisé par 0. On cherche un nombre qui, multiplié par 0, redonne 0. Essayons 1 : 1 fois 0 vaut 0, ça marche. Essayons 2 : 2 fois 0 vaut 0, ça marche aussi. Essayons 1000, essayons moins 7, essayons zéro : tout marche. La règle du traité, zéro fois n’importe quoi donne zéro, est précisément celle qui fait échouer la division. Aucun quotient ne se laisse isoler, parce qu’ils conviennent tous. Dire que le résultat est zéro, c’est en choisir un parmi une infinité, sans raison de préférer celui-là. Voilà pourquoi l’arithmétique d’aujourd’hui laisse 0 divisé par 0 sans valeur définie, et pourquoi une calculatrice répond par un message d’erreur.

À ne pas confondre avec un calcul voisin, qui lui est parfaitement valable : 0 divisé par 5 vaut 0. Ici on cherche un nombre qui, multiplié par 5, donne 0, et un seul convient : zéro. Rien à partager entre cinq personnes, chacune reçoit rien. Le trouble commence au dénominateur, et seulement là. Précisons, puisque le traité parle de dettes, que personne n’a jamais effacé la sienne en la divisant par zéro ; la règle vaut pour les nombres, pas pour les créanciers.

Le lecteur peut observer une symétrie dans la liste : deux positifs, deux négatifs, deux zéros, chaque cas reçoit sa réponse. Cette symétrie rend la règle trompeusement familière ; elle ne nous livre pas les raisons de son auteur. « Zéro divisé par zéro donne zéro » ressemble aux autres règles ; elle a leur rythme. Elle ne tient pas, mais elle sonne juste. Beaucoup d’erreurs durables ont cette propriété : elles complètent joliment un tableau.

Le passage par trois langues mérite aussi un arrêt. Les versets sont en sanscrit. Colebrooke les rend en anglais avec les mots de son temps : « affirmative » pour positif, « negative » pour négatif, « cipher » pour zéro, « nought » pour le résultat nul. Nous les redisons en français. À chaque étape, un mot peut glisser. « Nought » et « cipher » désignent tous deux le zéro, mais l’un sonne comme un résultat et l’autre comme un signe. Lire une règle vieille de quatorze siècles à travers un traducteur de 1817, c’est accepter cette épaisseur, et vérifier les calculs plutôt que les mots, parce que les calculs, eux, traversent les langues sans changer.

Il y a autre chose à observer, et c’est plus important que la faute elle-même. Le texte reste lisible, vérifiable, et contredit par ses propres outils. Un lecteur du XXIe siècle qui ne connaît ni le sanscrit ni l’astronomie indienne peut prendre la règle de multiplication écrite à la page 339 et s’en servir pour montrer que la règle de division écrite dans la même section ne tient pas. Le savoir est fourni avec son instrument de correction. Un texte qui dirait seulement « le résultat est zéro, croyez-moi » ne pourrait pas être réfuté de l’intérieur. Celui-là le peut, parce qu’il a pris la peine d’écrire toutes les règles, y compris celles qui le contredisent. Et Colebrooke, en 1817, a laissé la phrase fautive dans son texte, avec les autres. Le lecteur de Londres recevait les règles et l’erreur dans le même paquet. Il lui restait à faire le travail, comme à nous.

Revenons une dernière fois au zéro de 101. Il occupe une place où il n’y a rien, et cette place compte : enlevez-la, le nombre change de taille. Un zéro n’annonce jamais qu’il n’y a rien. Il signale que quelqu’un a prévu une colonne, a décidé qu’elle existait, et y a inscrit : vide. Les tas de grain et les ombres du sommaire demandent de choisir ce que l’on compte. Quand un compteur affiche zéro, la question utile devient : zéro de quoi, dans quelle colonne, et qui a dessiné les colonnes ? Le traité de 628 répondait pour les grains et les briques. Les compteurs d’aujourd’hui répondent plus rarement.

Le passage

Quand on te présente un score, une note, un pourcentage, un compteur sur une application, prends une feuille avant d’accepter le chiffre, et fais trois choses.

Écris l’unité. Des points, des minutes, des euros, des kilomètres, des « bons comportements » : si l’unité reste floue, le chiffre ne veut encore rien dire. Écris ensuite où se trouve le zéro. Zéro parce que rien ne s’est passé, ou zéro parce que ce qui s’est passé n’entrait dans aucune colonne ? Un élève absent et un élève qui a rendu copie blanche peuvent avoir le même zéro pour des raisons opposées. Écris enfin ce que le compteur laisse hors champ : ce qu’il ne mesure pas et qui compte pourtant pour toi.

Ensuite, demande une explication avec un exemple. Pas « comment ça marche », trop vague, mais « montre-moi un cas qui donne zéro et un cas qui donne le maximum ». Celui qui a conçu le compteur sait répondre ou ne sait pas ; dans les deux cas, tu apprends quelque chose.

Fais-le avec quelqu’un. Un camarade, un parent, un collègue, un professeur qui aime les questions. Vérifier une règle avec ses propres outils, comme on vient de vérifier la division par zéro avec la multiplication, se fait mieux à deux. Personne n’a jamais eu à bâtir seul l’escalier des nombres.

Les sources

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