L’inconnue n’est pas l’ennemie

Le volume a été imprimé à Londres en 1831, avec le texte arabe d’un côté et une traduction anglaise de l’autre. Sur la page de titre, le nom de l’auteur est transcrit à l’anglaise, Mohammed ben Musa, et le traducteur s’appelle Frederic Rosen. Aujourd’hui n’importe qui peut télécharger ce volume gratuitement, ouvrir la préface, sauter à la page 8 et tomber sur une phrase qui ressemble à une devinette de cour d’école : un carré et dix racines font trente-neuf dirhems. Le dirhem est une pièce de monnaie. La racine, dans ces pages, ne pousse pas sous un arbre. Et personne n’appelle encore le carré x. Cette lettre viendra bien plus tard ; quand nous l’utiliserons ici, ce sera notre ajout, pas celui de l’auteur.

L’auteur, on le connaît sous le nom d’al-Khwarizmi. De lui, sa préface donne l’essentiel pour ce chapitre : à qui il écrit, pourquoi il écrit, et ce qu’il espère que d’autres feront de son travail. C’est déjà beaucoup. Un livre qui commence par dire pour qui il est fait raconte presque toujours la vérité sur le pouvoir qui l’entoure.

Trois façons d’être utile

La préface s’adresse à al-Mamun, le souverain qui protège l’auteur. Les premières lignes louent son goût pour les sciences, sa protection des savants et son souci de rendre clair ce qui est obscur. Autrement dit, ce traité naît dans une cour, avec un appui, des moyens et un lecteur très haut placé. L’image du génie pauvre griffonnant seul dans son coin tombe dès la première page. Un livre pareil coûte du temps, du papier et une protection. Quelqu’un paie. Le reconnaître rend simplement sa naissance moins magique et plus honnête, sans rien ôter au texte.

Puis vient un passage qui mérite d’être relu lentement. L’auteur classe en trois groupes les gens qui ont servi le savoir avant lui. Les premiers ont découvert ce qu’on ignorait et l’ont transmis. Les deuxièmes ont commenté les travaux des anciens, les ont expliqués et en ont facilité l’accès. Les troisièmes ont trouvé des fautes dans ce qui existait, les ont corrigées, et l’ont fait sans mépris pour ceux qui s’étaient trompés. Trois métiers, donc, et aucun d’eux n’est présenté comme inférieur. Celui qui rend un texte lisible compte autant que celui qui trouve. Celui qui corrige doit garder les mains douces. On attendrait d’un auteur de cour qu’il se range d’office parmi les découvreurs. Il ne le fait pas. Il annonce un ouvrage court, pratique, sur le calcul par complétion et réduction. Le titre anglais choisi par Rosen est The Algebra ; nous allons suivre l’une de ses opérations dans une figure à compléter.

La liste des usages annoncés dans la préface mérite d’être copiée telle quelle, parce qu’elle sent la vie plutôt que l’abstraction : les héritages, les legs, les partages, les procès, le commerce, la mesure des champs, le creusement des canaux, la géométrie. Rien là-dedans ne ressemble à une légende sur le premier algorithme de l’humanité. On voit plutôt un bureau où l’on règle des successions, un marché où l’on compte des pièces, un chantier où l’on calcule la terre à déblayer. Les règles qui suivent sont faites pour ces gens-là, et pour ceux qui doivent vérifier qu’on ne les a pas lésés.

Un carré, dix bandes et un trou

À la page 5, l’auteur pose son vocabulaire. Les quantités qu’il manipule sont de trois sortes : des racines, des carrés et des nombres simples. Le nombre simple est une somme de dirhems, ce qu’on compte. La racine est une quantité inconnue, celle qu’on cherche. Le carré est cette racine multipliée par elle-même. Dans notre langue de collège, la racine serait x, le carré serait x², et le nombre simple un nombre comme 39. Dans le passage traduit, le problème est écrit en mots et en phrases. Le texte ressemble à une recette plus qu’à une formule.

Voici donc le problème de la page 8, dans l’esprit du texte : un carré et dix racines font trente-neuf dirhems. Il faut trouver la racine. La recette que donne l’auteur est la suivante. Prends la moitié du nombre de racines : la moitié de dix, c’est cinq. Multiplie cinq par lui-même : vingt-cinq. Ajoute trente-neuf : soixante-quatre. Prends la racine de soixante-quatre : huit. Retire la moitié que tu avais prise, cinq : il reste trois. Trois est la racine, et le carré vaut neuf.

Pourquoi ça marche ? Voici une manière de le voir, la nôtre, que chacun peut dessiner mentalement. Imaginez un carré dont le côté est la quantité inconnue. Vous ignorez sa longueur, mais vous savez que ce carré existe. Les dix racines, maintenant : ce sont dix bandes, chacune longue comme le côté du carré et large d’une unité. Collez cinq de ces bandes le long d’un côté du carré, les cinq autres le long du côté voisin. Vous obtenez une forme en L, un grand carré auquel il manque un coin. Ce coin manquant est un petit carré de cinq sur cinq : vingt-cinq. L’aire de la forme en L vaut le carré plus les dix bandes, autrement dit trente-neuf, puisque c’est ce que dit l’énoncé. Comblez le trou avec les vingt-cinq : le grand carré complet vaut soixante-quatre. Un carré d’aire soixante-quatre a un côté de huit. Or ce côté vaut le côté inconnu plus cinq, la largeur des bandes. Donc l’inconnu vaut trois.

Voilà la complétion : on remplit le coin vide pour fermer la figure. Le reste est une vérification à la portée de n’importe qui : neuf plus dix fois trois, soit neuf plus trente, font bien trente-neuf. La vérification est la partie la plus importante de l’histoire, et la plus souvent oubliée. On ne demande pas au lecteur de croire la recette. On lui donne le moyen de remettre la réponse dans l’énoncé et de voir si l’énoncé est content.

Un détail pour ceux qui ont déjà rencontré les équations à l’école. Si l’on écrit ce problème à notre manière, x² + 10 x = 39, l’algèbre moderne lui trouve une deuxième solution, x = moins treize. En effet, cent soixante-neuf moins cent trente font trente-neuf. Mais l’auteur ne cherche rien de tel, pour une raison honnête : il travaille avec des longueurs et des sommes d’argent, des quantités positives. Un côté de carré de moins treize ne se dessine pas. La liste des nombres qu’il accepte diffère de la nôtre. Il répond à une autre question, avec d’autres objets sur la table.

Deux réponses pour un seul problème

À la page 11, un autre cas, qui a l’air presque identique et qui réserve une surprise. Un carré et vingt-et-un dirhems font dix racines. La recette change un peu. Prends la moitié des racines : cinq. Multiplie-la par elle-même : vingt-cinq. Cette fois, retire le nombre, vingt-et-un : il reste quatre. La racine de quatre est deux. Et maintenant, dit l’auteur, retranche ce deux de la moitié des racines, ou bien ajoute-le : cinq moins deux donne trois, cinq plus deux donne sept. Les deux réponses sont bonnes. Vérifions, puisque c’est la règle du jeu. Avec trois : le carré vaut neuf, neuf plus vingt-et-un font trente, et dix racines de trois font trente. Avec sept : le carré vaut quarante-neuf, quarante-neuf plus vingt-et-un font soixante-dix, et dix racines de sept font soixante-dix.

Un seul énoncé, deux réponses exactes. Cela trouble souvent au premier contact, parce qu’on imagine le calcul comme une machine qui rend un verdict unique. Le livre du IXe siècle dit le contraire, calmement : voici les deux nombres qui conviennent, à vous de regarder le problème réel pour savoir lequel vous intéresse. Si la racine représente le côté d’un champ dont vous connaissez par ailleurs une borne, le contexte tranche. Si elle représente une part d’argent, le reste du dossier tranche. Le calcul éclaire ; il ne décide pas à la place des gens. Transformer chaque résultat exact en oracle qui ne se discute pas, c’est lui faire dire plus qu’il ne sait.

Cette prudence compte d’autant plus que le traité consacre des pages entières aux héritages et aux legs. Les problèmes y sont posés avec des formules impersonnelles : un homme meurt et laisse des fils, une somme, une dette, une promesse à un étranger. Ces personnages n’ont ni visage ni état civil. Ce sont des énoncés d’exercice, comme nos « un train part de Paris » ; personne ne les a rencontrés. Et les règles de partage que l’auteur applique sont celles de son droit et de son époque. Elles fixent qui reçoit quoi, et dans quelles proportions, selon des critères que nos lois d’aujourd’hui ne retiennent plus. Lire ces pages comme la preuve d’une justice égalitaire ancienne serait les trahir ; les lire comme un simple catalogue d’injustices le serait aussi. Ce qu’elles montrent est plus utile : une fois la règle fixée, elle devient un calcul, et un calcul peut être refait par quelqu’un d’autre. L’héritier qui doute peut compter. Le voisin qui sait lire peut compter avec lui.

Prenons notre propre exemple, inventé pour ce chapitre et absent du traité. Trois personnes doivent se partager quatre-vingt-dix pièces. La règle, qu’on leur a imposée, dit : la deuxième reçoit le double de la première, et la troisième reçoit autant que les deux autres réunies. Combien touche chacune ? Appelons la part de la première personne la racine, ou x si vous préférez. La deuxième reçoit 2 x. La troisième reçoit x plus 2 x, soit 3 x. Le total fait x plus 2 x plus 3 x, c’est-à-dire 6 x, et ce total vaut quatre-vingt-dix. Donc x vaut quinze. Les parts sont quinze, trente et quarante-cinq. Vérification : quinze plus trente plus quarante-cinq font bien quatre-vingt-dix, et quarante-cinq est bien la somme de quinze et trente. Deux remarques. La règle peut vous paraître injuste : pourquoi la troisième aurait-elle trois fois plus que la première ? Cette question est politique, elle se discute ailleurs qu’avec un crayon. Mais si quelqu’un vous annonce des parts de dix, trente et cinquante en invoquant cette même règle, le crayon suffit à prouver qu’on vous trompe : trente n’est pas le double de dix. L’équation reste muette sur la valeur de la règle. Elle parle seulement de son respect.

Le trajet d’une version

Ce qui frappe, en refermant le livre, c’est à quel point la préface avait déjà prévu son propre avenir. L’auteur avait décrit trois sortes d’ouvriers du savoir, et son traité a fini par passer entre les mains des trois. Des gens ont découvert à partir de lui. Des gens, comme Rosen, l’ont commenté, traduit, rendu accessible. Des gens ont corrigé, au fil des siècles, des erreurs de copie, de lecture ou de calcul. La lumière de ce texte tient là, dans le fait que ses règles ont été mises à portée de lecteurs toujours plus nombreux, et non dans la gloire d’un homme seul penché sur une table. L’homme avait un protecteur, des moyens, des prédécesseurs qu’il salue et des successeurs qu’il appelle. Il écrivait pour une cour. Il écrivait aussi, par la nature même de son sujet, pour l’héritier, le marchand et le terrassier qui auraient besoin de vérifier un chiffre.

Il n’écrivait pas pour nos droits. Il ignorait tout de nos lois sur les successions, de nos tribunaux, de nos notaires. Mais l’outil qu’il laisse n’a pas de propriétaire. Quand un partage vous est présenté, qu’il s’agisse d’un héritage, d’une facture divisée entre colocataires ou d’une prime répartie dans une équipe, la question de l’auteur reste la bonne : quelle est la quantité inconnue, quelle règle la relie aux quantités connues, et la réponse remise dans l’énoncé le rend-elle content ? Celui qui pose ces trois questions à voix haute change de place dans la pièce. Il cesse d’être celui à qui l’on annonce un résultat.

Le titre de ce chapitre vient de là. L’inconnue a longtemps été présentée comme une menace, la lettre qui fait peur, la case blanche où l’on écrit faux. Dans le petit livre de 1831, elle désigne une quantité qu’on ignore encore, mais qu’on peut encercler, dessiner, compléter, puis vérifier. L’inconnue peut devenir trouvable. Comprendre la règle qui mène jusqu’à elle appartient à tout le monde, à l’héritier comme au savant. Le résultat ne reste plus entre les mains de celui qui l’annonce.

Le passage

La prochaine fois qu’un partage te concerne, héritage, facture commune, répartition d’un travail ou d’une prime, demande qu’on te l’explique sur une feuille, en trois colonnes. Première colonne : ce qui est connu, avec les montants. Deuxième colonne : ce que l’on cherche, nommé clairement, ta part, la part de l’autre, le reste. Troisième colonne : la règle qui relie les deux, écrite en une phrase que tu peux relire. Exige ensuite la double vérification : d’abord le calcul qui mène au résultat, puis le résultat remis dans l’énoncé, comme le neuf plus trente qui redonne trente-neuf. Si la deuxième vérification échoue, le résultat est faux, quelle que soit l’assurance de la personne en face.

Fais cela en présence d’une personne alliée, ami, parent, collègue, qui n’a aucun intérêt dans le partage et qui lit avec toi. Deux paires d’yeux repèrent les colonnes mal remplies.

Garde enfin deux feuilles séparées. Sur l’une, la règle juridique ou contractuelle : qui a droit à quoi, et selon quel texte. Sur l’autre, l’équation : les nombres qui découlent de cette règle. Contester la règle se fait auprès d’un professionnel du droit ; ce chapitre n’en remplace aucun. Contester le calcul, en revanche, est à ta portée dès maintenant.

Les sources

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